CH3-计算机的算术运算

引言

计算机中的字由位组成。因此，字可以用二进制数表示。第2章里提到整数可以表示成十进制或者二进制形式，但是其他常数用的数据如何表示？例如：

小数和其他实数如何表示？
当一个操作数生成了一个无法表示的大数时如何处理？
上述问题隐含着一个秘密：怎样用硬件真正地做乘法和除法？

本章的目的就是要揭示这些秘密，包含实数的表示方法、算术的算法、实现这些算法的硬件，以及如何在指令集中表示有关的内容。有了这些知识后，你就能解释在使用计算机的过程中遇到的各种不明白的事情了。另外，我们还将介绍如何使用该技术加速算术运算密集型程序的运行。

章节导图

第一部分

整数的表示

无符号整数原码反码

不同于MIPS的32位字，我们先讨论8位整数

将全部8位用来表示绝对值的二进制数叫做无符号整数

其表示范围为 0 ~ +255，即 (2^8-1)

00000000 00000001 00000010……11111111

将最高位用来表示正负号(正数为0，负数为1)，其余7位表示绝对值的方法叫做原码>

也称为符号和幅值表示法，其表示范围为 -127 ~ -0 ~ +0 ~ +127，即 (2^7-1)

00000000 00000001 00000010……01111111 10000000 10000001 ……11111111

*原码是带符号整数的表示方法

将最高位为0的原码按位取反来表示负数，叫做反码

其表示范围为 -127 ~ -0 ~ +0 ~ +127

00000000 00000001 00000010……01111111 11111111 11111110 ……10000000

补码符号扩展大小端编址

原码和反码不能直接用于二进制加减法，且正负两个0会给编程人员带来麻烦

因此，当今计算机都采用可以直接加减的补码来表示带符号整数

先用 00000000 ~ 01111111 表示零和正整数 0 ~ +127

再用 10000000 ~ 11111111 表示负数 -128，即(-2^7) ~ -1

数x和它的反码相加，必定是11111111 (-1)

即 x + x̅ = -1，x̅ + 1 = x，因此将一个补码整数化为它的相反数，方法就是按位取反再+1

addi指令中，第一个源操作数是32位补码寄存器，第二个源操作数是16位补码立即数

将最高位即符号位，复制到高16位，即可完成符号扩展

对于一个长于1字节的整数，如果高位放在低地址，就称为大端编址

如果高位放在高地址，就称为小端编址

对于大小端编址可以参考《深入理解计算机系统》，有详细的介绍与讲解

对于16位补码 0xFFE0 1）十进制真值为？ 2）符号扩展=？ 3）大端/小端编址分别=？

第二部分

整数的四则运算ALU

复习题

补码加减的溢出分为哪两种，分别对应哪四个情况？

1
2
3

补码加减溢出分别为：上溢和下溢
分别对应：上溢有 正数+正数溢出 和 正数－负数溢出两种
         下溢有 负数+负数溢出 和 负数-正数溢出两种

为什么最低位ALU不接受进位，也要使用全加器？
为了支持and、or运算，采用哪种数字电路部件来选择信号？nor运算怎么实现？
32位ALU怎样支持slt和条件分支指令？
三组（四位）ALU控制信号的作用分别是什么？

行波进位和超前进位加法器的门延迟分别怎么计算？

行波进位的门延迟为：位数*2，即 32*2=64
                 因为每一位要经过一个与门和一个或门
	
超前进位的门延迟为：位数中4的几次方，并向上取整然后*2+1。即4^2.5+1 -> 3*2+1 = 7

改进前的乘法器，控制逻辑实现哪些功能？

1
2
3

根据乘数最低位是0还是1，决定被乘数是否加到积上
实现两个移位：被乘数左移，乘数右移
计数：当循环（迭代）进行32次后退出

改进后的乘法器和除法器是否可以共用一套硬件？64位寄存器怎么变化？

可以。
64位寄存器的变化：
              对于乘法
最开始，左边是32位的积，右边是32位乘数
最后经过32步的运算，整个变成64位的积

              对于除法
最开始，存放的是64位的被除数（一开始的余数）
最后，变成左边32位的余数，右边32位的商

SCU熟练掌握分步列出改进后的乘除法器中寄存器的值【熟练掌握】
1
改进前后的表，改进后都为4次

乘法、除法分别用什么策略实现进一步改进？

1
2

乘法：将32个ALU组合起来变成并行树。只需等待log2^32，即5次32位长的加法时间，而不是等待32次加法时间。
除法：采用SRT。通过查找表的方法来尝试猜测每步几个商位。其中查找表基于被除数和余数的高位部分来进行。依赖后面的步骤来修正错误的猜测。

引言